设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a²+b²的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

，
所以a2+b2≥(

x-2

1+x2

)2=

1

(x-2+

5

x-2

+4)2

≥

1

100

，
因为x-2+

5

x-2

在x∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-

2

25

，b=-

3

50

时取等号，
故a²+b²的最小值为

1

100

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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