已知函数f（x）=ax2+4x-2满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数；（3）对于给定的实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+4x-2满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求实数a的取值范围；
（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数；
（3）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，4分
又∵x₁≠x₂，∴必有a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞）． 2分
（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0．由 a＞0，f（1）=a+2＞0
①当0＜a＜6时，总有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，
故0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点； 2分
②当a＞6时，

a＞0

-1＜-

4

2a

＜1

f(1)=a+4-2＞0

f(-1)=a-4-2＞0

，即a＞6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点；2分
③当a=6时，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点．
综上：0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点；a≥6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点． 2分
（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
显然f（0）=-2，对称轴x=-

2

a

＜0．
①当-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2±

4-2a

a

，
此时M（a）取较大的根，即M(a)=

-2+

4-2a

a

=

-2

4-2a

+2

，
∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a

+2

＞-1． 2分
②当-2-

4

a

≥-4，即a≥2时，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2±

4+6a

a

，
此时M（a）取较小的根，即M(a)=

-2-

4+6a

a

=

-6

4+6a

+2

，
∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a

-2

≥-3．当且仅当a=2时，取等号． 3分
∵-3＜-1，∴当a=2时，M（a）取得最小值-3． 1分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+4x-2满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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