设函数f(x)=lnx-12ax2-bx（1）当a=b=12时，求f（x）的最大值．（2）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0＜x≤3)，以其图象上任一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=lnx-12ax2-bx（1）当a=b=12时，求f（x）的最大值．（2）令F(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx
（1）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值．
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3)，以其图象上任一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x(x＞0)，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，故f（x）的最大值为f(1)=-

3

4

．（6分）
（2）F(x)=lnx+

a

x

，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
由题意

x0-a

x

20

≤

1

2

，x₀∈（0，3]恒成立，即a≥x0-

1

2

x

20

在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知当x₀=1时，x0-

1

2

x

20

取得最大值

1

2

，
故a≥

1

2

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=lnx-12ax2-bx（1）当a=b=12时，求f（x）的最大值．（2）令F(..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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