已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为_____

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f （x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵已知函数f （x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），
f′（x）=2ax+b，
∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+

1

4

=1②，
联立方程①②可得a=

1

4

，b=

1

2

，
f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，
可得f（x-t）=

1

4

（x-t+1）²≤x，
化简可得，x²-2x（t-1）+（t-1）²-4x≤0，在[1，9]上恒成立，
令g（x）=x²-2x（t+1）+（t-1）²≤0，在[1，9]上恒成立，
∴

g(1)≤0 ①

g(9)≤0 ②

△≥0 ③

，
解①可得0≤t≤4，
解②可得4≤t≤14，
解③可得t≥4
综上可得：t=4，
故答案为4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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