已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若f（0）=-1，f（1）=1，求f（x）的表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．
（1）求证：|b|≤1；
（2）若f（0）=-1，f（1）=1，求f（x）的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2
∴|b|≤1
（2）若-

b

2a

＜-1，则f（x）在[-1，1]为增函数，
∴f（-1）＜f（0），f（0）=-1
∴|f（-1）|＞1与|f（-1）|≤1矛盾；
若-

b

2a

＞1，则f（x）在[-1，1]为减函数，
∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．
所以-

b

2a

∈[-1，1]，从而由

f(0)=-1

f(1)=1

|f(-

b

2a

)|≤1

解得

a=2

b=0

c=-1

∴f（x）=2x²-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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