已知函数f（x）=x2+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．（1）求α、β的值；（2）数列{an}满足：a1=1，an+1=g（an），求an；（3）数列{an}满足：a1=3，an+1=an-f(an)g(an)，(n-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）数列{a_n}满足：a1=3，an+1=an-

f(an)

g(an)

，(n=1，2，3，…)记bn=ln

an-β

an-α

，（n=1，2，…），求证数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由x²+x-6=0，可得x=2或-3，
∵α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴α=2，β=-3；
（2）∵g（x）=2x+1，∴a_n+1=g（a_n）=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（3）证明：an+1=an-

f(an)

g(an)

=

an2+6

2an+1

∴a_n+1+3=

an2+6

2an+1

+3=

(an+3)2

2an+1

，a_n+1-2=

(an-2)2

2an+1

∴bn=ln

an-β

an-α

=ln

an+3

an-2

=2ln

an-1+3

an-1-2

=2b_n-1
∴{b_n）是首项为ln

a1+3

a1-2

=ln6，公比为2的等比数列
∴{b_n}的前n项和S_n=

(1-2n)ln6

1-2

=（2ⁿ-1）ln6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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