（I）已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥12；（II）若a1，a2，…an∈R，a1+a2+…+an=1，求证：a12+a22+…+an2≥1n．-数学试题及答案

1、试题题目：（I）已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥12；（II）若a1，a2，…an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥

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2

；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

．

试题来源：门头沟区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂² ≥

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2

，
（II）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（I）已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥12；（II）若a1，a2，…an..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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