设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知AP=λAB，AQ=μAC，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．（1）求证：1λ+1μ=3；（2）求TS的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知

AP

=λ

AB

，

AQ

=μ

AC

，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．
（1）求证：

1

λ

+

1

μ

=3；
（2）求

T

S

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设

AB

=

c

，

AC

=

b

连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．
于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

）

AG

=

1

3

（

b

+

c

）
又由已知

AP

=λ

AB

=λ

c

．

AQ

=μ

AC

=μ

b

．
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=μ

b

-λ

c

PG

=

AG

+

PA

=

1

3

（

b

+

c

）-λ

c

=（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足

PG

=t

PQ

所以（

1

3

-λ）

c

+

1

3

b

=tμ

b

-tλ

c

由向量相等的条件得

1

3

-λ=-tλ

1

3

=tμ.

消去参数t得，

1

3

-λ

1

3

=-

λ

μ

，
即

1

λ

+

1

μ

=3．…（6分）
（2）由于△APQ与△ABC有公共角，则

T

S

=

|

AP

|×|

AQ

|

AB

|×|

AC

|

=λμ，
由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是

1

λ

≥1，

1

μ

≥1，
∵

1

λ

=3-

1

μ

≤2，∴1≤

1

λ

≤2，
∵

1

λ

+

1

μ

=3∴μ=

λ

3λ-1

T

S

=λμ=

λ2

3λ-1

=

1

-

1

λ2

+3

1

λ

=

1

-(

1

λ

-

3

2

)2+

9

4

…（12分）
∵1≤

1

λ

≤2，∴当

1

λ

=

3

2

时，-（

1

λ

-

3

2

）²+

9

4

有最大值

9

4

，
λ=1或2时，-（

1

λ

-

3

2

）²+

9

4

有最小值2．
∴

T

S

的取值范围为[

4

9

，

1

2

]．…14

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：