二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-14．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2-a2x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-14．（1）求f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
则f(x)=ax2-ax=a( x-

1

2

)2-

a

4

．
又f（x）的最小值是-

1

4

，故

-a

4

=-

1

4

．解得a=1．
∴f（x）=x²-x； …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x=x³-x²+ax²+x²-a²x=x³+ax²-a²x．
∴g'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）．　　　　　　…（6分）
由g'（x）=0，得x=

a

3

，或x=-a，又a≠0，故

a

3

≠-a．…（7分）
当

a

3

＞-a，即a＞0时，由g'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

． …（8分）
∴g（x）的减区间是( -a ，

a

3

)，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

-a≤-3

a

3

≥2

，解得

a≥3

a≥6

，故a≥6（满足a＞0）； …（10分）
当

a

3

＜-a，即a＜0时，由g'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a．
∴g（x）的减区间是(

a

3

， -a )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

a

3

≤-3

-a≥2

，解得

a≤-9

a≤-2

，故a≤-9（满足a＜0）． …（13分）
综上所述得a≤-9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，-9]∪[6，+∞）． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-14．（1）求f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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