设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0，2]上的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范围．

试题来源：杭州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当-

2a+1

2

≤1，即：a≥-

3

2

时，f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
当-

2a+1

2

＞1，即：a＜-

3

2

时，f(x)max=f(0)=a2+3a=0．
故a=0（舍去）或a=-3．
综上得：a的取值为：a=-1或a=-3．（5分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上递增，则满足：（1）-

2a+1

2

≤α；（2）

f(α)=α

f(β)=β

，
即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x²+2ax+a²+3a=0，设g（x）=x²+2ax+a²+3a，
则

-

2a+1

2

＜-a

△＞0

g(-

2a+1

2

)≥0

，解得：-

1

12

≤a＜0．（5分）
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
（1）-

2a+1

2

≥β；（2）

f(α)=β

f(β)=α

．
由

α2+(2a+1)α+a2+3a=β

β2+(2a+1)β+a2+3a=α

得，两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在(-∞，-

2a+1

2

]上有两个不相等的实根．
设h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，则

-

2a+1

2

＞-a-1

△＞0

h(-

2a+1

2

)≥0

，解得：-

5

12

≤a＜-

1

3

．（5分）
综上所述：a∈[-

5

12

，-

1

3

)∪[-

1

12

，0)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0，2]上的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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