已知数列{an}中，a1=12，对一切n∈N+，点（n，2an+1-an）在直线y=x上，（Ⅰ）令bn=an+1-an-1，求证数列{bn}是等比数列，并求通项bn；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设Sn、Tn分别为-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=12，对一切n∈N+，点（n，2an+1-an）在直线y=x上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，对一切n∈N₊，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在常数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，试求出λ若不存在，则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）由已知得 a1=

1

2

，2an+1=an+n，∵a2=

3

4

，a2-a1-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴

bn+1

bn

=

an+1-an-1

an+2-an+1-1

=

an+1+(n+1)

2

-

an+n

2

an+1-an-1

=

an+1-an-1

2

an+1-an-1

=

1

2

．
数列{b_n}是以-

3

4

为首项以

1

2

为公比的等比数列，b_n=-

3

4

×(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）因为b_n=-

3

4

×(

1

2

)n-1，
∴a_n+1-a_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1，a₂-a₁=1-

3

2

×

1

2

；a₃-a₂=1-

3

2

×

1

22

，…，a_n+1-a_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1，
将以上各式相加得：a_n-a₁=n+1-

3

2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)，
a_n=n-

1

2

-

3

2

×

1

2

(1-

1

2n-1

)

1-

1

2

=

3

2n

+n-2．
（Ⅲ）存在λ=2，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+（1+2+…+n）-2n
=3×

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

+

n(n+1)

2

-2n
=3(1-

1

2n

)+

n2-3n

2

=-

3

2n

+

n2-3n

2

+3．
Tn=b1+b2+…+bn=

-

3

4

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=-

3

2

(1-

1

2n

)=-

3

2

+

3

2n+1

．
数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列的充要条件是

Sn+λTn

n

=An+B，(A、B是常数）
即Sn+λTn=An2+Bn，
又Sn+λTn=-

3

2n

+

n2-3n

2

+3+λ(-

3

2

+

3

2n+1

)=

n2-3n

2

+3-

3

2n

+λ(-

3

2

+

3

2n+1

)
则3-

3

2n

+λ(-

3

2

+

3

2n+1

)=0，当λ=2时，上式成立．
所以存在常数λ=2，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=12，对一切n∈N+，点（n，2an+1-an）在直线y=x上..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：