已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥2)，bn=2nan．（1）证明：1an-1an-1=12；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)，bn=

2n

an

．
（1）证明：

1

an

-

1

an-1

=

1

2

；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)
∴数列{

an-1-an

anan-1

}为常数列
∴

an-1-an

anan-1

=

1

an

-

1

an-1

=

a1-a2

a2a1

=

1

2

（n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

n

2

，
∴bn=

2n

an

=n×2n-1
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
2S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=

1-2n

1-2

-n×2n=(1-n)2n-1，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，a2=1，且an-1-ananan-1=an-an+1anan+1(n≥..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：