设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上．（1）求an的表达式；（2）设An为数列{1(an-1)(an+1)}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式An＜a对一切-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）设An为数列{

1

(an-1)(an+1)

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上，
∴S_n=n²+n．
a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n（n=1时也成立）．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）An=

1

(a1-1)(a1+1)

+

1

(a2-1)(a2+1)

+…+

1

(an-1)(an+1)

=

1

1?3

+

1

3?5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
依题意，只要a≥

1

2

即可，故a的取值范围是[

1

2

，+∞)．
（3）数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b₁₀₀是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₂，b₄，b₆，…，b₁₀₀，…组成一个首项b₂=4+6=10，公差d=12
的等差数列．
所以b₁₀₀=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求b_n的值．
数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N^*）组的第1个数，第2个数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20．
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．
且b₄=14+16+18+20=68．
当n=4k时，b_n=68+80（k-1）=20n-12．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：