已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1+a4=14．（1）求数列an的通项公式；（2）设由bn=Snn+c（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当c=-12时，数列bn是等差-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知等差数列a_n中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂?a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设由bn=

Sn

n+c

（c≠0）构成的新数列为b_n，求证：当且仅当c=-

1

2

时，数列b_n是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列b_n，设cn=

8

(an+7)?bn

（n∈N^*），数列c_n的前n项和为T_n，现有数列f（n），f(n)=

2bn

an-2

-Tn（n∈N^*），
求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N^*都成立，并求出M的最小值．

试题来源：闵行区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵等差数列a_n中，公差d＞0，
∴

a2?a3=45

a1+a4=14

?

a2?a3=45

a2+a3=14

?

a2=5

a3=9

?d=4?an=4n-3（4分）
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，（6分）
由2b₂=b₁+b₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化简得2c²+c=0，c≠0，∴c=-

1

2

（8分）
反之，令c=-

1

2

，即得b_n=2n，显然数列b_n为等差数列，
∴当且仅当c=-

1

2

时，数列b_n为等差数列．（10分）
（3）∵cn=

8

(an+7)?bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

f(n)=

2bn

an-2

-Tn=

4n

4n-5

-

n

n+1

=1+

5

4n-5

-1+

1

n+1

=

5

4n-5

+

1

n+1

（12分）
∵f(1)=-

9

2

，而n≥2时f(n+1)-f(n)=

5

4n-1

+

1

n+2

-

5

4n-5

-

1

n+1

=

-20

(4n-1)(4n-5)

-

1

(n+2)(n+1)

＜0
∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）_max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N^*都成立，M_min=2（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：