已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．（1）若数列{an}前三项成等差数列，求λ的值；（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+9），其中λ为实数，n为正整数．
（1）若数列{a_n}前三项成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=λ，∴a2=

2

3

a1+1=

2

3

λ+1，a3=

2

3

a2+2=

2

3

(

2

3

λ+1)+2=

4

9

λ+

8

3

．
∵数列{a_n}前三项成等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，
∴2(

2

3

λ+1)=λ+

4

9

λ+

8

3

，解得λ=-6．
∴λ的值为-6．
（2）由（1）可知：若λ=-6，则a_n=-6+3（n-1）=3n-9，此时b_n=0不是等比数列；
当λ≠-6时，a_n≠3n-9．
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+9]=(-1)n+1(

2

3

an+n-3n+6)=-

2

3

×(-1)n(an-3n+9)=-

2

3

bn．
又b₁=-（a₁-3+9）=-λ-6≠0，
∴数列{b_n}是以-λ-6为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（3）由（1）（2）可知：①当λ=-6时，b_n=0，对于给定的0＜a＜b，对任意正整数n，0＜a＜S_n＜b不成立．
②当λ≠-6时，假设存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b成立．
由（2）可知：数列{b_n}是以-λ-6为首项，-

2

3

为公比的等比数列，∴bn=(-λ-6)×(-

2

3

)n-1=(-1)n(λ+6)?(

2

3

)n-1．
∴S_n=（-λ-6）[1-

2

3

+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-1]=(-λ-6)?

1-(-

2

3

)n

1-(-

2

3

)

=

3(-λ-6)

5

[1-(-

2

3

)n]．
当n→+∞时，(-

2

3

)n→0．
当λ＞-6时，S_n＜0，此时对任意正整数n，a＜S_n＜b不成立．
当λ＜-6时，n=2k（k∈N^*）时，∵

5

9

＜1-(-

2

3

)2k＜1，∴0＜

-λ-6

3

＜Sn＜

3(-λ-6)

5

；
n=2k-1（k∈N^*）时，1＜1-(-

2

3

)2k-1＜

5

3

，∴0＜

3(-λ-6)

5

＜Sn＜(-λ-6)．
∵0＜

-λ-6

3

＜

3(-λ-6)

5

＜（-λ-6）．
∴对于任意正整数n，0＜

-λ-6

3

＜Sn＜-λ-6．
∵设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b．
∴必有

a≤

-λ-6

3

b≥-λ-6

，解得-6-b≤λ≤-3a-6.(a≤

b

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n，bn=（-1）n（an-3n+9），..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：