在数列{an}中，a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式an；（2）设cn=n?2n+1?an，求数列{cn}的前n项和．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N*．（1）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=n?2ⁿ⁺¹?a_n，求数列{c_n}的前n项和．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵bn-1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1-

1

4an

)-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴数列{b_n}是等差数列
∵a1=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）由（1）的结论得an=

n+1

2n

，∴cn=n?2n+1?an=(n+1)?2n
∴S_n=2?2¹+3?2²+4?2³++（n+1）?2ⁿ①
2S_n=2?2²+3?2³+4?2⁴++n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2?2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）?2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）?2ⁿ⁺¹=-n?2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N*．（1）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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