定义一种运算△：n△m=n?am（m，n∈N，a≠0）（1）若数列{an}（n∈N*）满足an=n△m，当m=2时，求证：数列{an}为等差数列；（2）设数列{cn}（n∈N*）的通项满足cn=n△（n-1），试求数列{cn}的前n项和-数学试题及答案

1、试题题目：定义一种运算△：n△m=n?am（m，n∈N，a≠0）（1）若数列{an}（n∈N*）满足an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

定义一种运算△：n△m=n?a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n=n△m，当m=2时，求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{c_n}（n∈N^*）的通项满足c_n=n△（n-1），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由题意知当m=2时，a_n=n△m=a²?n，
则有a_n+1=a²?（n+1）（2分）
故有a_n+1-a_n=a²，（n∈N^*），其中a₁=1△2=a²，（3分）
所以数列{a_n}是以a₁=a²为首项，公差d=a²的等差数列．（4分）

（2）依题意有，c_n=n△（n-1）=n?a^n-1，（n∈N^*），（5分）
所以，当a=1时，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=

n(n+1)

2

；（7分）
当a≠1时，S_n=1?a⁰+2?a¹++（n-1）?a^n-2+n?a^n-1，（1）
所以aS_n=1?a¹+2?a²++（n-1）?a^n-1+n?aⁿ（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）S_n=1?a⁰+1?a¹++1?a^n-2+1?a^n-1-naⁿ（9分）
得：Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan(1-a)

(1-a)2

=

nan+1-nan-an+1

(1-a)2

，（n∈N^*）（11分）
综上所述，Sn=

nan+1-nan-an+1

(1-a)2

，a≠1

n(n+1)

2

，a=1

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义一种运算△：n△m=n?am（m，n∈N，a≠0）（1）若数列{an}（n∈N*）满足an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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