在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn-an）+2an=0（Ⅰ）证明数列{1Sn}是等差数列；（Ⅱ）求Sn和数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=Snn，求数列{bn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn-an）+2an=0（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{

1

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b n=

Sn

n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0
即S_n?S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0
即

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

又∵S₁=a₁=1，故数列{

1

Sn

}是以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列
（II）由（I）得：

1

Sn

=

n+1

2

∴S_n=

2

n+1

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

∵n=1时，

-2

n(n+1)

无意义
故a_n=

1，n=1

-2

n(n+1)

，n≥2

（III）∵bn=

Sn

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn-an）+2an=0（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：