已知数列{an}及其前n项和Sn满足：a1=3，Sn=2Sn-1+2n（n≥2，n∈N*）．（1）证明：设bn=Sn2n，{bn}是等差数列；（2）求Sn及an．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}及其前n项和Sn满足：a1=3，Sn=2Sn-1+2n（n≥2，n∈N*）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}及其前n项和S_n满足：a₁=3，S_n=2S_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）．
（1）证明：设b_n=

Sn

2n

，{b_n}是等差数列；
（2）求S_n及a_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本题满分14分）
（1）∵Sn-2Sn-1=2n
∴

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1（n≥2）…（4分）
设bn=

Sn

2n

则{b_n}是公差为1的等差数列 …（6分）
（2）又∵b1=

S1

2

=

a1

2

=

3

2

，
∴

Sn

2n

=n+

1

2

，
∴Sn=(n+

1

2

)2n…（9分）
当n≥2时，an=sn-sn-1=(2n+3)2n-2…（12分）
∴an=

3

(2n+3)2n-2

(n=1)

(n≥2)

Sn=(n+

1

2

)2n…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}及其前n项和Sn满足：a1=3，Sn=2Sn-1+2n（n≥2，n∈N*）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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