设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=nSnn2+c，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数-数学试题及答案

1、试题题目：设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．记bn=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差数列，证明：c=0．

试题来源：江苏试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）若c=0，则a_n=a₁+（n-1）d，Sn=

n[(n-1)d+2a]

2

，bn=

nSn

n2

=

(n-1)d+2a

2

．
当b₁，b₂，b₄成等比数列时，则b22=b1b4，
即：(a+

d

2

)2=a(a+

3d

2

)，得：d²=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=

nSn

n2+c

=

n2

(n-1)d+2a

2

n2+c

=

n2

(n-1)d+2a

2

+c

(n-1)d+2a

2

-c

(n-1)d+2a

2

n2+c

=

(n-1)d+2a

2

-

c

(n-1)d+2a

2

n2+c

． ①
若{b_n}是等差数列，则{b_n}的通项公式是b_n=A_n+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：

c

(n-1)d+2a

2

n2+c

=0，即c

(n-1)d+2a

2

=0，而

(n-1)d+2a

2

≠0，
故c=0．
经检验，当c=0时{b_n}是等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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