如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=5，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-11 07:30:00

试题原文

如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2

2

，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=

5

，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

试题来源：福建试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=

5

，OP=2

2

，
由余弦定理可得，OM²=OP²+MP²-2×OP?MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
OM=

OPsin45°

sin(45°+α)

，
同理，ON=

OPsin45°

sin(75°+α)

，
故S△OMN=

1

2

OM?ONsin∠MON
=

1

4

×

OP2sin245°

sin(45°+α)sin(75°+α)

=

1

sin(45°+α)sin(45°+α+30°)

=

1

sin(45°+α)[

3

2

sin(45°+α)+

1

2

cos(45°+α)]

=

1

3

2

sin2(45°+α)+

1

2

sin(45°+α)cos(45°+α)]

=

1

3

4

+

3

4

sin2α+

1

4

cos2α

=

1

3

4

+

1

2

sin(2α+30°)

因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值8-4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦定理”。

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