已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点，离心率是63（I）求椭圆E的方程；（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使MA?MB恒-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点，离心率是63（I）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4

5

x的焦点，离心率是

6

3

（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使

MA

?

MB

恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=

5

，c=e?a=

6

3

×

5

=

30

3

，故b=

a2-c2

=

5-

10

3

=

5

3

，
所以，椭圆E的方程为

x2

5

+

y2

5

3

=1，即x²+3y²=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则
x₁+x₂=-

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

3k2-5

3k2+1

；
∴

MA

?

MB

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m-

1

3

-

6m+14

3(3k2+1)

，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-

7

3

；
所以，存在点M（-

7

3

，0）满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点，离心率是63（I）..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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