已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2．（1）求此椭圆的方程；（2）设此椭圆的左焦点-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设此椭圆的左焦点为F₁，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F₂PF₁=60°？并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
两式相减得

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

y1-y2

x1-x2

=-

6

5

①，
由

x1+x2+0

3

=c，

y1+y2+b

3

=0，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①
得2b²-5bc+2c²=0?2b=c或b=2c②；
∵M、N在直线L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56?18c+5b=56③；
由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a²=20，
因此椭圆方程为：

x2

20

+

y2

16

=1．
（2）证明：cos∠F1PF2=

r12+r22-16

2r1r2

=

64-2r1r2

2r1r2

≥

128

(r1+r2)2

-1=

3

5

＞

1

2

，
∴∠F₁PF₂＜60°，
∴使∠F₁PF₂=60°的点P不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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