在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(-3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AO-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(-3，0)，(3，0)的距离之和等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(-

3

， 0)，(

3

， 0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（共13分）
（1）由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(-

3

， 0)，(

3

， 0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）
故曲线C的方程为

x2

4

+y2=1． …（5分）
（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）
因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．
则

x2

4

+y2=1

x=my-1.

整理得（m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y1=

m+2

m2+3

m2+4

，y2=

m-2

m2+3

m2+4

．
则 |y2-y1|=

4

m2+3

m2+4

．
因为S△AOB=

1

2

|OE|?|y1-y2|
=

2

m2+3

m2+4

=

2

m2+3

+

1

m2+3

． …（10分）
设g(t)=t+

1

t

，t=

m2+3

，t≥

3

．
则g（t）在区间[

3

，+∞)上为增函数．
所以g(t)≥

4

3

．
所以S△AOB≤

3

2

，
当且仅当m=0时取等号，即(S△AOB)max=

3

2

．
所以S_△AOB的最大值为

3

2

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(-3，0)，(3，0)的距离之和等..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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