已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=14x2的焦点，离心率为255．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率为

2

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂=-10．

试题来源：东莞二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1）
则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2

a2

=

2

5

，∴a²=5，
所以椭圆C的标准方程为

x2

5

+y2=1
（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1并整理，
得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

又，

MA

=(x1，y1-y0)，

MB

=(x2，y2-y0)，

AF

=(2-x1，-y1)，

BF

=(2-x2，-y2)，而

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
即（x₁-0，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y₀）=λ₂（2-x₂，-y₂）
∴λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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