已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为

10

，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．

试题来源：通州区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则a=

10

，c=2．
所以b=

a2-c2

=

10-4

=

6

，
所以椭圆方程为

x2

10

+

y2

6

=1．
（Ⅱ）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．
因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直．
于是，设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x2

10

+

y2

6

=1

y=k(x-2)

，整理得，（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
x1+x2=

20k2

3+5k2

，所以y1+y2=-

12k

3+5k2

．
因为四边形AOBC为平行四边形，所以

OA

+

OB

=

OC

，
所以点C的坐标为(

20k2

3+5k2

，-

12k

3+5k2

)，
所以

(

20k2

3+5k2

)2

10

+

(-

12k

3+5k2

)2

6

=1，解得k²=1，
所以k=±1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：