已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=32，且点P（-2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=32，且点P（-2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，且点P（-2，0）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意得

c

a

=

3

2

，a=2，所以c=

3

，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由

x2+4y2=4

y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，

PA

?

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=

6

5

k或m=2k，
当m=

6

5

k时，AB：y=kx+

6

5

k恒过定点(-

6

5

，0)；
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；
②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-

6

5

，则AB与椭圆C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)，
∴

PA

?

PB

=(

4

5

，-

4

5

)?(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0，∵PA⊥PB，满足题意，
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-

6

5

，0)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=32，且点P（-2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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