已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为45，且过点（1023，1）．（I）求椭圆C的方程；（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为45，且过点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为

4

5

，且过点（

10

2

3

，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c

a

=

4

5

，c=

4

5

a，
∴b2 = a2-c2=

9

25

a2，
∵椭圆过点(

10	2

3

，1)，∴

200

9

a2

+

1

9

25

a2

=1，解得 a²=25，b²=9，
故椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

9

=1（4分）

（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有

x2

25

+

y2

9

=1

y=kx+m

，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）²-4（25k²+9）x25（m²-9）=0，从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

，②
由

x2+ y2=R2

y=kx+m

．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0，
由于直线与圆相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=-

kR2

m

，④
由②④得：x₂-x₁=

k(25-R2)

m

，由①③得：k²=

R2-9

25-R2

，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

?

k2 (25-R2 )

m2

=

R2-9

R2

?

(25-R2)2

25-R2

= 25+ 9-R2-

225

R2

≤34-

2

R2×

225

R2

=34-30=4
即|AB|≤2，当且仅当R=

15

时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为45，且过点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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