已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-22），且离心率e满足：23，e，43成等比数列．（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-12平-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-22），且离心率e满足：23，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2

2

），且离心率e满足：

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-

1

2

平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列，∴e=

2

3

．
又F₁（0，-2

2

），c=2

2

，∴a=3，
∴b=

a2-c2

=1，
∴所求方程为x²+

1

9

y²=1
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-

1

2

平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由

y=kx+m

x2+

y2

9

=1

消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

2km

k2+9

∴

x1+x2

2

=

-km

k2+9

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得

(k2+9)2

4k2

-（k²+9）＜0
∴k＞

3

或k＜-

3

∴直线l倾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-22），且离心率e满足：23，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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