已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点(3，32)，离心率e=12，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(x0a，y0b)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点(3，32)，离心率e=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(

3

，

3

2

)，离心率e=

1

2

，若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N(

x0

a

，

y0

b

)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

试题来源：怀化三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得：

(

3

)2

a2

+

(

3

2

)2

b2

=1

a2=b2+c2

c

a

=

1

2

，即

3

a2

+

3

4b2

=1

a2=b2+c2

a=2c

，
解得a²=4，b²=3，所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

+1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P(

x1

2

，

y1

3

)，Q(

x2

2

，

y2

3

)
1°当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m
联立

x2

4

+

y2

3

=1

y=kx+m

得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
则有△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）=48（3+4k²-m²）＞0

x1+x2=

-8km

3+4k2

x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：

OP

?

OQ

=(

x1

2

，

y1

3

)?(

x2

2

，

y2

3

)=

x1x2

4

+

y1y2

3

=0，即3x₁x₂+4y₁y₂=0?
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入整理得：
(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0 ②
将①式代入②式得：3+4k²=2m²，
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，
则△=48m²＞0．
又点O到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4

3

3+4k2-m2

3+4k2

=

1+k2

4

3

|m|

3+4k2

=

1+k2

4

3

|m|

2m2

所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2

3

m2

2m2

=

3

2°当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）
联立椭圆方程得：y2=

3(4-m2)

4

代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得到3m2-

3(4-m2)

4

=0，即m=±

2

5

，y=±

2

15

5

．
S△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

|m||y1-y2|=

3

综上：△OAB的面积是定值

3

．
又S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，所以二者相等．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点(3，32)，离心率e=..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：