已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线y=x+6与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线y=x+6与以原点为圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（

1

6

，0），求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则G（

x0

3

，

y0

3

）
设I（x_I，y_I），则∵IG∥F₁F₂，∴yI=

y0

3

∵|F₁F₂|=2c，∴S△F1PF2=

1

2

|F₁F₂||y₀|=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）?

y0

3

∴2c?3=2a+2c
∴e=

c

a

=

1

2

∵直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切
∴b=

6

2

∴b=

3

∴a=2
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，可得m²＜4k²+3
∵x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴y₁+y₂=

6m

3+4k2

∴线段AB的中点R的坐标为（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）
∵线段AB的垂直平分线l′的方程为y=-

1

k

(x-

1

6

)，R在直线l′上，
∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

6

)
∴m=-

1

6k

(4k2+3)
∴[-

1

6k

(4k2+3)]2＜4k2+3
∴k2＞

3

32

∴k＞

6

8

或k＜-

6

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线y=x+6与以原点为圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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