（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，-数学试题及答案

1、试题题目：（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；

（2）已知抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：y²=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程y=

2

x(x≥0)，如果椭圆C₁：

x2

16

+

y2

4

=1经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且|AB|=

2

，求椭圆C₂的方程．

试题来源：杨浦区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

4

=1，伸缩比λ=2，
∴C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程为：

4x2

9

-

4y2

4

=1，即

4x2

9

-

y2

1

=1；
（2）抛物线C₁：y²=2x，经过伸缩变换后得抛物线C₂：λ²y²=λx，?y²=

1

λ

x

1

λ

=32，?则伸缩比λ=

1

32

；
（3）∵C₂、C₁关于原点“伸缩变换”，对C₁作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1，（12分）
解方程组

y=

2

x (x≥0)

x2

16

+

y2

4

=1

得点A的坐标为(

4

3

，

2

6

3

)（14分）
解方程组

y=

2

x (x≥0)

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1

得点B的坐标为(

4

3

3λ

，

2

6

3λ

)（15分）
|AB|=

(

4

3

3λ

-

4

3

)2+(

2

6

3λ

-

2

6

3

)2

=

2

|λ-1|

|λ|

=

2

，
化简后得3λ²-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=

2

3

，
因此椭圆C₂的方程为

x2

4

+y2=1或

x2

36

+

y2

9

=1．（18分）（漏写一个方程扣2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λ..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：