已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足OM=12OA+32OB，求直线L的斜率k的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，过顶点A（0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在椭圆上且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求直线L的斜率k的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²=1+c²，解得a=2，
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
联立

y=kx+1

x2

4

+y2=1

，消去y解得（1+4k²）x²+8kx=0，
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）²＞0，
所以x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁×x₂=0，
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，∴

m=

1

2

(x1+

3

x2)

n=

1

2

(y1+

3

y2)

点M在椭圆上，则m²+4n²=4，
∴

1

4

(x1+

3

x2)2+(y1+

3

y2)2=4，化简得
x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+4k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+4=0，
∴4k?（-

8k

1+4k2

）+4=0，解得k=±

1

2

．
故直线l的斜率k=±

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，过顶点A（0..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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