已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，直线l：x-y+2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，M-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，直线l：x-y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率

2

，直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点N（-

1

2

，-l）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知得：

c

a

=

2

12+(-1)2

=b

b2+c2=a2

，解得

a=

2

b=1

，
故椭圆方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k₁x+1，
由

x2

2

+y2=1

y=k1x+1

得：(1+2k12)x2+4k1x=0，
则xA=xA+0=-

4k1

1+2k12

，所以yA=k1xA+1=

1-2k12

1+2k12

，
所以A（-

4k1

1+2k12

，

1-2k12

1+2k12

），同理可得B（-

4k2

1+2k12

，

1-2k22

1+2k22

），
所以

NA

=(

1

2

-

4k1

1+2k12

，1+

1-2k12

1+2k12

)=（

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

，

2

1+2k12

），

NB

=(

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

，

2

1+2k22

)，
所以

1+2k12-8k1

2(1+2k12)

?

2

1+2k22

-

2

1+2k12

?

1+2k22-8k2

2(1+2k22)

=

2(k12-k22)+8(k2-k1)

(1+2k12)(1+2k22)

=

2(k1-k2)(k1+k2-4)

(1+2k12)(1+2k22)

=0，
故

NA

∥

NB

，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（-

1

2

，-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率22，直线l：x-y..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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