已知椭圆的离心率e=22，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以原点为圆心，椭圆的焦距|F1F2|为直径作圆O，直线PF1，PF2与圆O的另一个交点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的离心率e=22，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的离心率e=

2

，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以原点为圆心，椭圆的焦距|F₁F₂|为直径作圆O，直线PF₁，PF₂与圆O的另一个交点分别为M，N．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线MN是否经过一定点，若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e=

2

，一条准线方程为x=4，
∴

c

a

=

2

a2

c

=4

∴a=2

2

，c=2
∴b²=a²-c²=4
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由题意，F₁（-2，0），F₂（2，0），∴⊙O的方程为x²+y²=4
设P（4，m）则直线PF₁的方程为y=

m

6

(x+2)
代入圆的方程，可得（m²+36）x²+4m²x+4（m²-36）=0
∴x₁=-2，x₂=-

2(m2-36)

m2+36

∴M（-

2(m2-36)

m2+36

，

24m

m2+36

）
同理可得N（

2(m2-4)

m2+4

，

-8

m2+4

）
若MN⊥x轴，则-

2(m2-36)

m2+36

=

2(m2-4)

m2+4

，解得m²=12，此时点M，N的横坐标都为1，直线MN过定点（1，0）；
若MN与x轴不垂直，即m²≠12，此时，k_MN=

-8

m2+4

-

24m

m2+36

2(m2-4)

m2+4

+

2(m2-36)

m2+36

=

-8m

m2-12

∴直线MN的方程为y-

-8

m2+4

=

-8m

m2-12

[x-

2(m2-4)

m2+4

]
即y=

-8m

m2-12

(x-1)
∴直线MN过定点（1，0），
综上，直线MN过定点（1，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的离心率e=22，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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