已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=63，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=63，过点A（0，-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，
依题意可得：

c

a

=

6

3

ab

a2+b2

=

3

2

，
解得：a²=3，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）假设存在这样的值．

y=kx+2

x2+3y2-3=0

，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则

x1+x2=-

12k

1+3k2

x1?x2=

9

1+3k2

…②
而y₁?y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y₁x₁+y₂x₂+1=-1，
即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k₂+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
将②代入③整理得k=

7

6

，
经验证k=

7

6

使得①成立综上可知，存在k=

7

6

使得以CD为直径的圆过点E．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=63，过点A（0，-..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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