已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OA-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

试题来源：滨州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有

|2|

12+(-1)2

=b，
所以b=

2

，已知e=

c

a

=

3

，
所以有a²=3c²=3（a²-b²），
解得a²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀=kx02，
由

y0=kx0

x02

3

+

y02

2

=1

，解得x02=

6

2+3k2

，
所以S_△OAB=k?

6

2+3k2

=

6

2

k

+3k

≤

6

2

k

?3k

=

6

2

，
当且仅当

2

k

=3k，即k=

6

2

时取等号，
所以△OAB面积的最大值为

6

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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