已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为32，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且|PA+PB|的最小值为2．（1）求椭圆C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为32，A、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为

3

2

，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且|

PA

+

PB

|的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量

PA

+

PB

与

QA

+

QB

互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
∴

PA

+

PB

=2

PO

，|

PA

+

PB

|=2|

PO

|，
因此，当P在短轴上顶点时，|

PA

+

PB

|取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依题意得：

c

a

=

3

2

，即

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，∴a²=4，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1(y＞0)；
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为K_NP=k，KNQ=-

1

k

，
则此两直线方程分别为：L_NP：y=k（x-1），LNQ：y=-

1

k

(x-1)，
又

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

（O为原点），因此，只要满足

OP

⊥

OQ

即可，
故KOP?KOQ=

k(xP-1)

xP

?

-

1

k

(xQ-1)

xQ

=-1，化简为：x_P+x_Q=1，
由半椭圆方程得：yP=

4-xP2

2

，yQ=

4-xQ2

2

，则KOP?KOQ=

4-xP2

2xP

?

4-xQ2

2xQ

=-1，即

16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2

=-4x_Px_Q，
令x_Px_Q=t≤0且x_P+x_Q=1，故

16-4(1-2t)+t2

=-4t，
化简为：15t²-8t-12=0，解得t=-

2

3

或t=

6

5

（舍去），∴

xP+xQ=1

xPxQ=-

2

3

，
解之得：

xP=

3+

33

6

xQ=

3-

33

6

或

xP=

3-

33

6

xQ=

3+

33

6

，
因此，直线NP、NQ能使得

PA

+

PB

与

QA

+

QB

互相垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为32，A、..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：