已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为23，离心率为33，经过其左焦点F1的直线l交椭圆C于P、Q两点．（I）求椭圆C的方程；（II）在x轴上是否存在一点M，使得MP?MQ恒为常-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为23，离心率为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2

3

，离心率为

3

，经过其左焦点F₁的直线l交椭圆C于P、Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）在x轴上是否存在一点M，使得

MP

?

MQ

恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)．
由题意，得

2a=2

3

c

a

=

3

，解得

a=

3

c=1

，所以b²=2．（3分）
所求的椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（II）由（I）知F₁（-1，0）．
假设在x轴上存在一点M（t，0），使得

MP

?

MQ

恒为常数．
①当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+1），P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1)

x2

3

+

y2

2

=1

得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．（6分）
所以x1+x2=-

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

．（7分）

MP

?

MQ

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=

(k2+1)(3k2-6)

2+3k2

-

(k2-t)?6k2

2+3k2

+k2+t2=

(6t-1)k2-6

2+3k2

+t2
=

(2t-

1

3

)(2+3k2)-(4t+

16

3

)

2+3k2

+t2=t2+2t-

1

3

-

4t+

16

3

2+3k2

．
因为

MP

?

MQ

是与k无关的常数，从而有4t+

16

3

=0，即t=-

4

3

．（10分）
此时

MP

?

MQ

=-

11

9

．（11分）
②当直线l与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为(-1，

2

3

)、(-1，-

2

3

)，
当t=-

4

3

时，亦有

MP

?

MQ

=-

11

9

．（13分）
综上，在x轴上存在定点M(-

4

3

，0)，使得

MP

?

MQ

恒为常数，且这个常数为-

11

9

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为23，离心率为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：