已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为2+1，最小值为2-1（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知⊙O是以F1F2为直径的圆，一-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为

2

+1，最小值为

2

-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足

2

3

≤x₂?x₂+y₁?y₂≤

3

4

，求△AOB面积S的最大值．

试题来源：桂林二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设知

a+c=

2

+1

a-c=

2

-1

，
解得a=

2

，c=1，
∴b²=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，
∵

|m|

k2+1

=1，
∴m²=k²+1．
由

x2

2

+y2 =1

y=kx+m

，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1?x2=

2m2-2

1+2k 2

=

2k2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2 +km(x1+x2)+m2=

1-k2

1+2k2

，
x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤x₂?x₂+y₁?y₂≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k2≤1，
∴S△AOB=

1

2

?|AB|?1
=

1

2

1+k2

?

(-

4km

1+2k2

)2-4×

k2

1+2k2

=

2(k4+k2)

4(k4+k2)+1

，
设μ=k⁴+k²，则

3

4

≤μ≤2，
S=

2μ

4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S关于μ∈[

3

4

，2]上单调递增，
∴△AOB面积S的最大值为S(2)=

2×2

4×2+1

=

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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