已知M是以点C为圆心的圆（x+1）2+y2=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足DM=2DP，NP?DM=0．动点N的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的-数学试题及答案

1、试题题目：已知M是以点C为圆心的圆（x+1）2+y2=8上的动点，定点D（1，0）．点P在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足

DM

=2

DP

，

NP

?

DM

=0．动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵

DM

=2

DP

，

NP

?

DM

=0．
∴NP为DM的垂直平分线，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|DN|=2

2

＞2．（3分）
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为2

2

的椭圆．
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+b，
由

y=kx+b

x2

2

+y2=1

，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2(b2-1)

1+2k2

（8分）
∵|AB|=2，∴

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴(1+k2)[(-

4kb

1+2k2

)2-

8(b2-1)

1+2k2

]=4，
∴

1

1+k2

=2(1-b2)，（11分）
∵1+k²≥1∴

1

2

≤b2＜1．（12分）
又点O到直线AB的距离h=

|b|

k2+1

，
∴S=

1

2

|AB|?h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=-2(b2-

1

2

)2+

1

2

（13分）
∴0＜S²≤

1

2

，∴0＜S≤

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知M是以点C为圆心的圆（x+1）2+y2=8上的动点，定点D（1，0）．点P在..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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