已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S(0，-12)且斜率为1的直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S (0， -

1

2

)且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点，求|MN|的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）直线x-y+b=0与抛物线y²=4x联立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）将直线l：y=x-

1

2

与椭圆方程联立，消去y可得3x²-2x-

3

2

=0
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2

3

，x₁x₂=-

1

2

∴|AB|=

1+1

?|x₁-x₂|=

2

?

4

9

+2

=

2

11

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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