数列{an}满足sn=2n-an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足sn=2n-an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足s_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分8分）
（Ⅰ）当n=1时，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a2=

3

2

．
同理：a3=

7

4

，a4=

15

8

．
由此猜想an=

2n-1

(n∈N*)…（5分）
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a₁=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即ak=

2k-1

，
那么n=k+1时，a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
所以2a_k+1=2+a_k，所以ak+1=

2+ak

2

=

2+

2k-1

2

=

2k+1-1

2k

，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N^*猜想an=

2n-1

成立．…（8分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足sn=2n-an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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