已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=π3，BC=2，求△ABC的面积（3）求数-数学试题及答案

1、试题题目：已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=

π

3

，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2(

2

-1)

1-(

2

-1)2

=1
∴sin(2α+

π

4

)=sin2α?cos

π

4

+cos2α?sin

π

4

=

2

(sin2α+cos2α)
=

2

×

2sinα?cosα+(cos2α-sin2α )

sin2α+cos2α

（分子分母同除以cos²α）
=

2

×

2tanα+(1-tan2α)

1+tan2α

=1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=

π

4

，而∠C=

π

3

，
根据正弦定理易AB=

BC?sin

π

3

sin

π

4

=

2×

3

2

=

6

，
sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=

6

+

2

4

S△ABC=

1

2

×AB×BC×sinB=

1

2

×

6

×2×

6

+

2

4

=

3+

3

2

（3）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：