已知{bn}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差数列，且a1=1，an=bn?(1b1+1b2+…+1bn-1)（n≥2）．（1）求bn；（2）求数列{nan}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知{bn}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为Sn，若S3=14，b1+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，an=bn?(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

试题来源：张掖模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，
得

b1(1+q+q2)=14

6b1q=b1+b1q2+14

（2分）
从而2q²-5q+2=0得

q=2

b1=2

故b_n=2ⁿ．（4分）
（2）当n≥2时，an=2n?(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2ⁿ-2
则S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2（2²-2）+3（2³-2）+…+n（2ⁿ-2）
=1+（2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-2（2+3+…+n）（1分）
令Tn=2×22+3×23+…+n×2n2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1
得-Tn=8+

8(1-2n-2)

1-2

-n×2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹
故Tn=(n-1)?2n+1．（3分）
于是S_n=1+(n-1)?2n+1-2×

(n-1)(n+2)

2

=（n-1）?2ⁿ⁺¹-n²-n+3．（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{bn}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为Sn，若S3=14，b1+..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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