已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数{an}的前n项和．（1）求a2及通项an；（2）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N+都成立，求证：0＜t≤-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2（n≥2，t＞0），a1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知正项数列{a_n} 满足S_n+Sn-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数{a_n} 的前n项和．
（1）求a₂及通项a_n；
（2）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N⁺都成立，求证：0＜t≤1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₁=1，S₂+S₁=ta₂²+2得a₂=0（舍去）或a2=

1

t

，
又S_n+Sn-1=ta_n²+2 （1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3），
因为数列{a_n}为正项数列，∴an-an-1=

1

t

(n≥3)，
即数列{a_n}从第二项开始是公差为

1

t

的等差数列．∴an=

1(n=1)

n-1

t

(n≥2)

----7 分
（2）当n=时T₁=t＜2；
n≥2时，T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+…+

t2

(n-1)n

=t+t2

n-1

n

要使T_n＜2对所有n∈N^*恒成立，只t+t2

n-1

n

≤2成立，
故0t≤1得证----（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2（n≥2，t＞0），a1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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