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1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求实数h(-1)=-
1
3
的取值范围．

  试题来源：顺义区一模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（I）由题意可知，Sn=2n+1-2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2也满足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
当k=1时，b2+b1=21，…①
当k=2时，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
当k=3时，b4+b3=23，…③
当k=4时，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1个式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=
2[1-(-2)n-1]
1-(-2)
=
2(1+2n-1)
3
=
2n
3
+
2
3
，又b1=0，
所以，当n为偶数时，bn=
2n
3
+
2
3
．
同理，当n为奇数时，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=
2[1-(-2)n-1]
1-(-2)
=
2-2n
3
，
所以，当n为奇数时，bn=
2n
3
-
2
3
．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=(
2
3
-
2
3
)+(
22
3
+
2
3
)+(
23
3
-
2
3
)+(
24
3
+
2
3
)+…+(
2n
3
+
2
3
)
=
2
3
+
22
3
+…+
2n
3
=
1
3
?
2(1-2n)
1-2
=
2n+1
3
-
2
3
；
当n为奇数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=(
2
3
-
2
3
)+(
22
3
+
2
3
)+…+(
2n-1
3
+
2
3
)+(
2n
3
-
2
3
)
=(
2
3
+
22
3
+…+
2n
3
)-
2
3
=
2n+1
3
-
4
3
．
故数列{bn}的前n项和Tn=
2n+1
3
-
2
3
(n为偶数)
2n+1
3
-
4
3
(n为奇数)
．…（8分）
（III）由（II）可知bn=
2n
3
+
2
3
(n为偶数)
2n
3
-
2
3
(n为奇数)
，
①当n为偶数时，
bn
bn+1
=
2n
3
+
2
3
2n+1
3
-
2
3
=
2n+2
2n+1-2
=
1
2
+
3
2n+1+2
，
所以
bn
bn+1
随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时，
bn
bn+1
的最大值是
b2
b3
=1．
②当n为奇数时，
bn
bn+1
=
2n
3
-
2
3
2n+1
3
+
2
3
=
2n-2
2n+1+2
=
1
2
-
3
2n+1+2
，
所以
bn
bn+1
随n的增大而增大，且
bn
bn+1
=
1
2
-
3
2n+1+2
＜
1
2
＜1．
综上，
bn
bn+1
的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式bn＜λbn+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x-1-2的图象上..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。


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