已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）．（I）求数列an的通项公式；（II）设Tn=a1+122+a2+123+…+an+12n+1，求Tn的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）．（I）求数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设Tn=

a1+1

22

+

a2+1

23

+…+

an+1

2n+1

，求T_n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为S_n=na_n-2（n-1）n，
所以当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-2）（n-1）．a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即a_n-a_n-1=4（4分）
所以数列a_n是首项a₁=1，公差d=4的等差数列，且a_n=1+（n-1）4=4n-3（n∈N^*）．（6分）
（II）因为

an+1

2n+1

=

4n-3+1

2n+1

=

2n-1

2n

，
所以Tn=

a1+1

22

+

a2+1

23

+…+

an+1

2n+1

=

1

2

+

3

22

+

5

23

++

2n-1

2n

．①（8分）

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．②..（10分）
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1

2

[1-(

1

2

)n-1]

1-

1

2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
所以Tn=3-

2n+3

2n

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）．（I）求数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：