已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和为_____

1、试题题目：已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足a₁=1且a_n=a_n-1cos

2nπ

3

，则其前2013项的和为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

当n=3k（k∈N）时，cos

2×3kπ

3

=cos2kπ=1，
当n=3k+1（k∈N）时，cos

2×(3k+1)π

3

=cos(2kπ+

2π

3

)=cos

2π

3

=-

1

2

，
当n=3k+2（k∈N）时，cos

2×(3k+2)π

3

=cos(2kπ+

4

3

π)=-cos

π

3

=-

1

2

，
由a₁=1且a_n=a_n-1cos

2nπ

3

，
得：a2=a1cos

2π

3

=-

1

2

，a3=a2cos2π=-

1

2

，
a4=a3cos

8π

3

=(-

1

2

)×(-

1

2

)=

1

4

，a5=a4cos

10π

3

=

1

4

×(-

1

2

)=-

1

8

，
a6=a5cos

12π

3

=(-

1

8

)×cos4π=(-

1

8

)×1=-

1

8

，
…
由此可得从第一项起，数列{a_n}的每三项和为0，
而2013=671×3，所以，S₂₀₁₃=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）=0．
故答案为0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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