已知数列{an}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n2（n≥1，n∈N+），（1）求a2011（2）若bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前b项和，存在正整数b，使得Sn＞λ-12，求实数λ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n2（n≥1，n∈N+），（1）求a2011..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前b项和，存在正整数b，使得S_n＞λ-

1

2

，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=2011²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2010

=2010²两式相减得

1

a2011

=2011²-2010²=4021?a₂₀₁₁=

1

4021

（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

=（n+1）²
两式相减得

1

an

=n²-（n-1）²=2n-1?an=

1

2n-1

（n≥2）
当n=1时，a₁=1也满足上式∴an=

1

2n-1

（n≥1）
b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
存在正整数b，使得S_n＞λ-

1

2

，即S_n的最大值大于λ-

1

2

而S_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

∴

1

2

＞λ-

1

2

，即λ＜1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n2（n≥1，n∈N+），（1）求a2011..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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